Różnica między liczbami rzeczywistymi a liczbami całkowitymi

Matematycy opracowali systemy określające, w jaki sposób pewna liczba różni się od innej. Podobnie jak inne pojęcia, kategorie liczb pokrywają się. Ponieważ liczby rzeczywiste obejmują wszystkie liczby wymierne, takie jak liczby całkowite, mają one podobne cechy, takie jak wykorzystanie liczb całkowitych i wykreślanie na linii liczbowej. Dlatego kluczową różnicą jest to, że liczby rzeczywiste są ogólną klasyfikacją, podczas gdy liczby całkowite są podzbiorem, który jest scharakteryzowany jako liczby całkowite, które mogą mieć właściwości ujemne.

Jakie są liczby rzeczywiste?

Liczby rzeczywiste to wartości, które można znaleźć na linii liczbowej, która jest zwykle wyrażana jako geometryczna linia pozioma, w której wybrany punkt działa jako „początek”. Te, które wypadają po prawej stronie, są oznaczone jako pozytywne, podczas gdy te po lewej są negatywne. Opis „prawdziwy” został przedstawiony przez Rene Descartesa, słynnego matematyka i filozofa w XVII wieku. W szczególności ustalił różnicę między prawdziwymi korzeniami wielomianów a ich wyobrażonymi korzeniami.

Liczby rzeczywiste obejmują liczby całkowite, liczby całkowite, liczby naturalne, wymierne i niewymierne:

• Wszystkie liczby

Liczby całkowite to liczby dodatnie, które nie mają części ułamkowych ani kropek dziesiętnych, ponieważ reprezentują całe obiekty bez fragmentów lub kawałków.

• Liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby całkowite, które zawierają ujemną stronę linii liczbowej.

• Liczby naturalne

Znane również jako liczby, liczby naturalne są jak liczby całkowite, ale zero nie jest uwzględniane, ponieważ nic nie może być zasadniczo liczone jako „0”.

• Liczby wymierne

Jeśli chodzi o pochodzenie, starożytny grecki matematyk Pitagoras ogłosił, że wszystkie liczby są racjonalne. Liczby wymierne są ilorazami lub ułamkami dwóch liczb całkowitych. Gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q nie jest równoważne zeru, p / q jest liczbą wymierną. Na przykład 3/5 jest liczbą wymierną, ale 3/0 nie.

• Liczby niewymierne

Uczeń Pitagorasa, Hippasus, nie zgodził się, że wszystkie liczby są racjonalne. Poprzez geometrię udowodnił, że niektóre liczby są nieracjonalne. Na przykład pierwiastek kwadratowy z dwóch, który wynosi 1,41, nie może być wyrażony jako ułamek; dlatego jest irracjonalny. Niestety, rzeczywistość liczb wymiernych nie została zaakceptowana przez wyznawców Pitagorasa. Spowodowało to, że Hippasus utonął na morzu, co w tamtym czasie było karą bogów.

Co to są liczby całkowite?

Od łacińskiego słowa „liczba całkowita”, które tłumaczy się na „cały” lub „nietknięty”, liczby te nie mają składników ułamkowych ani dziesiętnych, tak jak liczby całkowite. Liczby obejmują dodatnie liczby naturalne lub liczby zliczające i ich negatywy. Na przykład -3, -2, -1, 0, -1, 2, 3 są liczbami całkowitymi. Zwykle ilustracją są równomiernie rozmieszczone liczby na nieskończonej linii liczbowej z zerem, która nie jest ani dodatnia, ani ujemna na środku. Dlatego pozytywne są większe niż negatywne.

Jeśli chodzi o historię, następujące konta śledzą, jak po raz pierwszy wykorzystano liczby całkowite:

• W 200 r.p.n.e. liczby ujemne zostały po raz pierwszy przedstawione za pomocą czerwonych prętów w starożytnych Chinach.
• Około 630 r. N.e. liczby ujemne zostały wykorzystane do przedstawienia długu w Indiach.
• Arbermouth Holst, niemiecki matematyk wprowadził liczby całkowite w 1563 r. Jako system dodawania i mnożenia. Opracował system w odpowiedzi na rosnącą liczbę królików i słoni, na których eksperymentował.

Oto cechy liczb całkowitych:

• Pozytywny

Liczby po prawej stronie linii liczbowej są dodatnie i często reprezentują wyższą wartość ich ujemnych odpowiedników.

• Negatywny

Liczby po lewej stronie linii liczbowej są często postrzegane jako mniejsza standardowa wartość ich dodatnich odpowiedników.

• Neutralny

Środek linii liczbowej, zero, jest liczbą całkowitą, która nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

• Bez fragmentów

Podobnie jak liczby całkowite, liczby całkowite nie mają przecinków ani ułamków.

Różnica między liczbami rzeczywistymi a liczbami całkowitymi

Zakres liczb rzeczywistych i liczb całkowitych

Liczby rzeczywiste obejmują liczby całkowite, wymierne, nieracjonalne, naturalne i liczby całkowite. Z drugiej strony zakres liczb całkowitych dotyczy głównie liczb całkowitych, które są ujemne i dodatnie. Dlatego liczby rzeczywiste są bardziej ogólne.

Ułamki

Liczby rzeczywiste mogą obejmować ułamki, takie jak liczby wymierne i niewymierne. Jednak ułamki nie mogą być liczbami całkowitymi.

Właściwość najmniejszej górnej granicy

Liczby rzeczywiste mają właściwość najmniejszej górnej granicy, która jest również znana jako „kompletność”. Oznacza to, że liniowy zestaw liczb rzeczywistych ma podzbiory o właściwościach supremum. Przeciwnie, liczby całkowite nie mają właściwości najmniejszej górnej granicy.

Właściwość Archimedesa

Właściwość Archimedesa, która zakłada, że ​​istnieje liczba naturalna równa lub większa niż dowolna liczba rzeczywista, może być zastosowana do liczb rzeczywistych. Przeciwnie, własności Archimedesa nie można zastosować do liczb całkowitych.

Pole

Liczby rzeczywiste są rodzajem pola, które jest podstawową strukturą algebraiczną, w której definiowane są procesy arytmetyczne. Przeciwnie, liczby całkowite nie są uważane za pola.

Policzalny

Jako zestaw, liczby rzeczywiste są niepoliczalne, a liczby całkowite są policzalne.

Symbole liczb rzeczywistych i liczb całkowitych

Liczby rzeczywiste są symbolizowane jako „R”, a zestaw liczb całkowitych symbolizowany jest jako „Z”. N. Bourbaki, grupa francuskich matematyków w latach 30. XX wieku, określiła „Z” od niemieckiego słowa „Zahlen”, co oznacza liczbę lub liczby całkowite.

Pochodzenie wyrazu dla liczb rzeczywistych i liczb całkowitych

Liczby rzeczywiste oznaczają rzeczywiste pierwiastki wielomianów, podczas gdy liczba całkowita pochodzi od łacińskiego słowa „całe”, ponieważ nie zawierają ułamków dziesiętnych ani ułamków zwykłych.

Liczby rzeczywiste a liczby całkowite

Podsumowanie liczb rzeczywistych a liczb całkowitych

• Zarówno liczby rzeczywiste, jak i liczby całkowite można narysować na linii liczbowej.
• Liczby całkowite to podzbiór liczb rzeczywistych.
• Liczby całkowite mają liczby ujemne.
• Jako zestaw, liczby rzeczywiste mają bardziej ogólny zakres w porównaniu do liczb całkowitych.
• W przeciwieństwie do liczb całkowitych liczby rzeczywiste mogą zawierać ułamki i kropki dziesiętne.
• Właściwości najmniejszego ograniczenia, Archimedesa i pola mają ogólne zastosowanie do liczb rzeczywistych, ale nie do liczb całkowitych.
• W przeciwieństwie do liczb rzeczywistych liczby całkowite są ściśle policzalne.
• „R” oznacza liczby rzeczywiste, a „Z” oznacza liczby całkowite.